La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
About Me
Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b], entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos dé como resultado el integrando de la integral:
f(x) • dx = F(x) + C => ( F(x) + C )' = f(x)
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Regla de Barrow
[ x
f(x) • dx = F(x) - F(a)
] a
[ b
f(x) • dx = F(b) - F(a)
] a
f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.
Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal:
o El inglés Newton (1642-1727)
o El alemán Leibniz (1646-1716)
Si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como:
o Kepler
o Fermat (1601-1665)
o Cavalieri (1598-1647)
o Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.
Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b], entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos dé como resultado el integrando de la integral:
f(x) • dx = F(x) + C => ( F(x) + C )' = f(x)
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Regla de Barrow
[ x
f(x) • dx = F(x) - F(a)
] a
[ b
f(x) • dx = F(b) - F(a)
] a
f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.
Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal:
o El inglés Newton (1642-1727)
o El alemán Leibniz (1646-1716)
Si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como:
o Kepler
o Fermat (1601-1665)
o Cavalieri (1598-1647)
o Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.
La constante de integración (c), se le pone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una infinidad de funciones que tienen la misma derivada, puesto que sólo varían en una constante. Por ejemplo:
derivada de x²= 2x
derivada de x² - 17= 2x
derivada de x² + ê= 2x, y así sucesivamente. Si te das cuenta, las funciones son diferentes, sin embargo tienen la misma derivada; por lo que al integrar las derivadas (diferenciales más bien), es necesario agregarle la constante de integración c, pues en una integral indefinida no se sabe cuál es la constante original de la función.
"Dos funciones que tienen igual derivada difieren en una constante".
Cuando uno "integra" una función dada, lo que hace es tratar de encontrar una función primitiva tal que si la derivamos obtenemos la función original. En virtud del teorema antedicho, al encontrar una sola primitiva, estamos encontrando sin quererlo una "familia de primitivas", ya que al agregarle a la primitiva original una constante c cualquiera obtenemos infinitas funciones tales que su derivada nos da la función original.
La constante de integración es un número que tiene sentido en las llamadas integrales indefinidas. No así en las definidas, ya que la regla de Barrow hace que desaparezca (la demostración es muy sencilla).
Con todo esto ya estás en condiciones de construir tu propio concepto de "constante de integración".
Precisando la integración es la operación opuesta a la diferenciación. Al encontrar la derivada encontramos la pendiente de la función dada. Cuando integramos encontramos un conjunto de funciones que hacen valida esa derivada, pero como tu sabes al tener varias pendientes es posible desplazarlas arriba o abajo en el plano cartesiano.
La constante de integración es precisamente ese valor que se agrega a la función que la desplaza en los ejes cartesianos. Por ejemplo la integral de 0 seria esa constante K cuyo valor se determina dados los limites superiores e inferiores de la integral, siendo el conjunto de funciones cuya pendiente sea 0.
derivada de x²= 2x
derivada de x² - 17= 2x
derivada de x² + ê= 2x, y así sucesivamente. Si te das cuenta, las funciones son diferentes, sin embargo tienen la misma derivada; por lo que al integrar las derivadas (diferenciales más bien), es necesario agregarle la constante de integración c, pues en una integral indefinida no se sabe cuál es la constante original de la función.
"Dos funciones que tienen igual derivada difieren en una constante".
Cuando uno "integra" una función dada, lo que hace es tratar de encontrar una función primitiva tal que si la derivamos obtenemos la función original. En virtud del teorema antedicho, al encontrar una sola primitiva, estamos encontrando sin quererlo una "familia de primitivas", ya que al agregarle a la primitiva original una constante c cualquiera obtenemos infinitas funciones tales que su derivada nos da la función original.
La constante de integración es un número que tiene sentido en las llamadas integrales indefinidas. No así en las definidas, ya que la regla de Barrow hace que desaparezca (la demostración es muy sencilla).
Con todo esto ya estás en condiciones de construir tu propio concepto de "constante de integración".
Precisando la integración es la operación opuesta a la diferenciación. Al encontrar la derivada encontramos la pendiente de la función dada. Cuando integramos encontramos un conjunto de funciones que hacen valida esa derivada, pero como tu sabes al tener varias pendientes es posible desplazarlas arriba o abajo en el plano cartesiano.
La constante de integración es precisamente ese valor que se agrega a la función que la desplaza en los ejes cartesianos. Por ejemplo la integral de 0 seria esa constante K cuyo valor se determina dados los limites superiores e inferiores de la integral, siendo el conjunto de funciones cuya pendiente sea 0.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)